Question

2．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x≠-1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＞b＞0，且c=$\frac{1}{b（a-b）}$，求证：f（a）+f（c）$＞\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断符号，即可得到f（x）的单调区间；
（2）运用基本不等式先证a+c≥3，由单调性可得f（a+c）≥f（3）=$\frac{3}{4}$，运用放缩法证明f（a）+f（c）＞f（a+c），即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
由f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
则f（x）的增区间为（-∞，-1），（-1，+∞）；
（2）证明：由a＞b＞0，c=$\frac{1}{b（a-b）}$，
即有a+c=（a-b）+b+$\frac{1}{b（a-b）}$≥3$\root{3}{（a-b）•b•\frac{1}{b（a-b）}}$=3，
即有f（a+c）≥f（3）=$\frac{3}{4}$，
又f（a+c）=$\frac{a+c}{a+c+1}$，
f（a）+f（c）=$\frac{a}{a+1}$+$\frac{c}{c+1}$＞$\frac{a}{a+c+1}$+$\frac{c}{a+c+1}$=$\frac{a+c}{a+c+1}$=f（a+c），
即有f（a）+f（c）＞f（a+c）≥$\frac{3}{4}$．
则f（a）+f（c）$＞\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查不等式的证明方法：放缩法，注意运用基本不等式和不等式的性质是解题的关键．