Question

18．下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”；
②命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”；
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；
④若x＞0，则x＞sinx恒成立．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①利用命题的否定定义即可判断出真假；
②利用逆否命题的定义即可判断出真假；
③利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；
④若x＞0，令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，即可函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断出真假．

解答 解：①命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”，正确；
②命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”，正确；
③“命题p∨q为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题p∧q为真”为假命题，反之：若“命题p∧q为真”，则p与q都为真命题，因此“命题p∨q为真”，∴“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，因此是假命题；
④若x＞0，令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，因此函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，则x＞sinx恒成立，正确．
综上只有①②④是真命题．
故选：C．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题．