Question

9．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}，x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，则方程f（f（a））=1解的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用换元法设f（a）=t，则方程等价为f（t）=1，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t的值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：令f（a）=t，则方程f[f（a）]=1等价为f（t）=1，
当t＜1时，由$（\frac{1}{3}）^{t}=1$，解得t=0，
当t≥1时，由lnt=1，解得t=e，
即f（a）=0，或f（a）=e，
作出函数f（x）的图象如图：
由图象可知方程f（a）=0的根只有一个，
方程f（a）=e的根有2个，
故方程f（f（a））=1解的个数为3个，
故选：C．

点评 本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法求出t的值是解决本题的关键．注意利用指数函数和对数函数的图象，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．