Question

1．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；
（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．其中所有正确说法的序号为①②．

Answer 1

分析 直线阅读新定义得出函数关系式函数f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，利用基本不等式，偶函数的定义判断即可．

解答 解；根据得出：函数f（x）=（e^x）*$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$
∵e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2（x=0时等号成立）
∴函数f（x）的最小值为3，故①正确；
∵f（-x）=1+e^-x$+\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+e^x$+\frac{1}{{e}^{x}}$=f（x），
函数f（x）为偶函数；故②正确；
运用复合函数的单调性判断函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
故③不正确
故答案：①②

点评 本题考查了新定义的题目，基本不等式的运用，复合函数的单调性，综合性较强，但是难度不大．