Question

9．已知抛物线y²=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，求$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围．

Answer 1

分析 设函数上的点得出向量），$\overrightarrow{PO}$=（-x，-y），$\overrightarrow{PF}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PF}$=x²-x+y²=x²+3x，x≥0，利用函数的单调性求解即可．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点，P（x，y），
∴y²=4x，F（1，0），$\overrightarrow{PO}$=（-x，-y），$\overrightarrow{PF}$=（1-x，-y），
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PF}$=x²-x+y²=x²+3x，x≥0，
根据函数的单调性得出：[0，+∞），g（x）=x²+3x单调递增，
∴g（0）=0，$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围：[0，+∞）

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查函数的最值求法，注意运用分式中变量分离法，及配方法，属于中档题