Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，0），ω＞0，又函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）（k＞0）是以$\frac{π}{2}$为最小正周期的周期函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最大值为$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，是否存在正实数t，使得函数f（x）的图象能由函数g（x）=t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的图象按向量平移得到．

Answer 1

分析 （1）首先利用向量的数量积运算得到f（x） 解析式，然后变形，利用其周期得到ω的值，从而得到值域；
（2）首先得到g（x）的解析式，然后观察与f（x）的关系，分析是否存在t．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinωx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，0），ω＞0，
又函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$）=3sin²ωx+1-k$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=3×$\frac{1-cos2ωx}{2}$+1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ksin2ωx
=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ksin2ωx
又函数是以$\frac{π}{2}$为最小正周期的周期函数，所以ω=2，
所以f（x）=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$cos4x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ksin4x，
所以f（x）的值域为[$\frac{5}{2}$-$\sqrt{\frac{9+3{k}^{2}}{4}}$，$\frac{5}{2}$+$\sqrt{\frac{9+3{k}^{2}}{4}}$]；
（2）若函数f（x）的最大值为 $\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，即 $\frac{5}{2}$+$\sqrt{\frac{9+3{k}^{2}}{4}}$=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，解得k=1，
所以f（x）=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$cos4x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x=$\frac{5}{2}$-$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{π}{3}$），
g（x）=t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$tsin2xcos2x=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$sin4x，
所以当t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，g（x）=sin4x，只要将g（x）向左平移$\frac{π}{12}$个单位，然后纵坐标变为原来的$\sqrt{3}$倍，再将图象关于x轴对称，再向上平移$\frac{5}{2}$个单位即可得到f（x）图象．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及三角函数图象的平移变换，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．