Question

19．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，且a₁=2，S₂•S₃=$\frac{112}{3}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从{a_n}中抽取一个公比为q的等比数列{a${\;}_{{k}_{n}}$}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，k_n∈N^*，求满足条件的最小q值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和等差数列的前n项和公式列出方程，由条件求出公差d，代入等差数列的通项公式化简即可；
（Ⅱ）令k₂=2、3、4，由题意和等比数列的定义进行验证，求出等比数列{${a}_{{k}_{n}}$}的通项公式，并求出对应数列{a_n}的项数，确定公比的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为a₁=2，S₂•S₃=$\frac{112}{3}$，所以（4+d）（6+3d）=$\frac{112}{3}$，
化简得9d²+54d-40=0，解得d=$\frac{2}{3}$或-$\frac{20}{3}$，
又公差d＞0，则d=$\frac{2}{3}$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{2}{3}（n+2）$；
（Ⅱ）由（I）知，数列{a_n}是正项递增等差数列，
所以等比数列{${a}_{{k}_{n}}$}的公比q＞1，
若k₂=2，则q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{2}{3}（2+2）}{2}$=$\frac{4}{3}$，则${a}_{{k}_{3}}$=2×$（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$，
由$\frac{32}{9}=\frac{2}{3}（n+2）$得n=$\frac{10}{3}$∉N^*，所以k₂＞2，同理k₂＞3，
若k₂=4，由a₄=4得q=2，此时${a}_{{k}_{n}}=2•{2}^{n-1}$组成等比数列，
设$2•{2}^{n-1}=\frac{2}{3}（m+2）$，解得3•2^n-1=m+2，
对任何正整数n，只要取m=3•2^n-1-2，
所以${a}_{{k}_{n}}$是数列{a_n}的第3•2^n-1-2项，
所以最小的公比q=2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及等比数列的定义、通项公式，属于中档题．