Question

11．如图，点E，F分别在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁、AB上，下列命题：
①A₁C⊥B₁E；
②在平面A₁B₁C₁D₁内总存在于平面B₁EF平行的直线；
③△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
④当E、F为中点时，平面B₁EF截该正方体所得的截面图形是五边形；
⑤若点P为线段EF的中点，则其轨迹为一个矩形的四周．
其中所有真命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可得到答案

解答 解：对于①A₁C⊥B₁E，不一定成立，因为A₁C⊥平面AC₁D，而两个平面面B₁EF与面AC₁D不一定平行．

对于②，在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，故②正确；
对于③△B₁EF在侧面BCC₁B₁上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB₁，而E点在面上的投影到此棱BB₁的距离是定值，故正确；
对于④当E，F为中点时，平面B₁EF截该正方体所得的截面图形是五边形B₁QEPF，故④正确；
对于⑤若点P为线段EF的中点，则其轨迹为一个矩形的面；故⑤错误；
故答案为：②③④．

点评 本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，涉及到的知识点较多，综合性强