Question

20．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0，则（{\overrightarrow a+\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b+\overrightarrow c}）$的最大值为$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 将所求展开，利用已知三个向量为单位向量，并且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，得到所求为$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+1，利用商量下公式求最值．

解答 解：由已知得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+1；
根据几何意义，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+1=（$\sqrt{2}+1$）cosθ，所以最大值为$\sqrt{2}+1$；
故答案为：$1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用；关键是将所求变形为向量夹角的式子．