Question

5．设函数f（x）=|$\frac{1}{2}$x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，利用一次函数的单调性即可得出a．
（II）由（I）可知：m²+n²=1，利用基本不等式的性质可得：1≥2mn，由于m，n＞0，再利用基本不等式的性质即可得出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：（I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，
∴当x＜-2时，f（x）＞f（-2）=2；
当-2≤x≤0时，f（x）＞f（0）=1；
当x＞0时，f（x）＞f（0）=1．
综上可得：函数f（x）的最小值为1，∴a=1．
（II）由（I）可知：m²+n²=1，
∴1≥2mn，∴$mn≤\frac{1}{2}$．
∵m，n＞0，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分段函数与一次函数的性质、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法与推理能力，属于中档题．