Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞1）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得函数的定义域为R，可得f（-x）=-f（x），可得奇函数；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，可判定f（x₁）-f（x₂）的符号，由单调性的定义可得结论．

解答 解：（Ⅰ）可得函数的定义域为R，
f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$=-$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，+∞）为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{a}^{{x}_{2}}-1}{{a}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{（{a}^{{x}_{1}}-1）（{a}^{{x}_{2}}+1）-（{a}^{{x}_{2}}-1）（{a}^{{x}_{1}+1}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$=$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵a＞1且x₁＜x₂，∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，∴$\frac{2（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）}{（{a}^{{x}_{1}}+1）（{a}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性，涉及单调性的定义法证明，属基础题．