Question

19．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，对任意实数x，若存在实常数t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“t型函数”．在下列关于“t型函数”的四个命题中，其中真命题是（　　）

• A． f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数”
• B． f（x）=x²是一个“t型函数”
• C． f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|是一个“t型函数”
• D． “$\frac{1}{2}$型函数”至少有一个零点

Answer 1

分析 举例说明A不正确；把f（x）=x²代入定义求得λ的矛盾的值说明B错误；把f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|代入定义求得λ的矛盾的值说明C错误；由函数零点存在性定理结合新定义说明D正确．

解答 解：由题意得，A不正确，如f（x）=c≠0，取t=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，
即f（x）=c≠0是一个“t函数”；
若f（x）=x²是一个“关于t函数”，则（x+λ）²+λx²=0，求得λ=0且λ=-1，矛盾．B不正确；
若f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|是一个“关于t函数”，则|x+λ-$\frac{1}{2}$|+λ|x-$\frac{1}{2}$|=0，求得λ=0且λ=-$\frac{1}{2}$，矛盾，C不正确；
D正确，若f（x）是“是关于$\frac{1}{2}$函数”，则f（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（x）=0，取x=0，则f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f （$\frac{1}{2}$）均不为0，
则f（0）、f （$\frac{1}{2}$）异号，由零点存在性定理知，在（0，$\frac{1}{2}$）区间内存在零点；
故选：D．

点评 本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．