Question

14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），给出下列结论：
①f（3）=1；
②函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上的所有根之和为-8．
则其中正确的命题为①②④．

Answer 1

分析 运用条件定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=-f（x），得出函数f（x）周期为8，x=2，x=-2均为对称轴，即可判断每一个选项正确与否．

解答 解：由条件可知，函数f（x）周期为8，x=2，x=-2均为对称轴，
①中，令x=-1，则f（3）=f（4-1）=-f（-1）=f（1）=log₂（1+1）=1，故①正确；
②中，f（x）在[-2，2]上单调递增，由f（x）关于x=-2对称，所以f（x）在在[-6，-2]上是减函数；
故②正确；
③中，f（0）≠f（2），可知f（x）的图象不关于直线x=1对称；故③不正确；
④中，函数f（x）的图象关于直线x=-6，x=2对称；，可知f（x）=m，（m∈（0，1））的根有4个，分别记为x₁，x₂，x₃，x₄，
有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-6，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2，故x₁+x₂+x₃+x₄=8
故④正确
故答案为：①②④

点评 本题考查了函数的性质，函数的周期性，对称性，单调性的综合运用，属于中档题，考查了学生的分析问题的能力．