Question

2．如图，设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂做直线l交椭圆于P，Q两点．若圆O：x²+y²=b²过F₁，F₂，且△PF₁F₂的周长为2$\sqrt{2}$+2．
（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）若M为圆O上任意一点，设直线l的方程为4x-3y-4=0，求△MPQ面积S_△MPQ的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{c=b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，计算即得结论；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线l方程代入椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式可得|PQ|=$\frac{50\sqrt{2}}{41}$，易知点M到直线l的距离最大时S_△MPQ最大，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{c=b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
圆O的方程：x²+y²=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线l方程代入椭圆方程得：y₁+y₂=-$\frac{24}{41}$，y₁y₂=-$\frac{16}{41}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$•|y₁-y₂|=$\frac{50\sqrt{2}}{41}$，
为使S_△MPQ最大，只需点M到直线l的距离最大，
最大距离等于圆心到直线l的距离与圆半径之和，即h=$\frac{4}{5}$+1=$\frac{9}{5}$，
∴（S_△MPQ）_max=$\frac{1}{2}$|PQ|•h=$\frac{45\sqrt{2}}{41}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．