Question

3．某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：

	乙队胜的概率	乙队平的概率	乙队负的概率
与丙 队比赛	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
与丁队比赛	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

注：各队之间比赛结果相互独立．
（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A₁、A₂、A₃，乙队胜、平、负丁队为事件B₁、B₂、B₃．利用独立事件求概率．
（Ⅱ）列举随机变量X的可能取值，求出各自概率得到分布列．

解答 解：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A₁、A₂、A₃，乙队胜、平、负丁队为事件B₁、B₂、B₃．
则P（A₁）=P（A₂）=$\frac{1}{4}$，P（A₃）=$\frac{1}{2}$；P（B₁）=P（B₂）=P（B₃）=$\frac{1}{3}$；…2分
设乙队最后积4分为事件C，
则P（C）=P（A₁）P（B₃）+P（B₁）P（A₃）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$．…4分
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．…5分$P（X=7）=P（{A_1}）P（{B_1}）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$；$P（X=5）=P（{A_1}）P（{B_2}）+P（{A_2}）P（{B_1}）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；$P（X=4）=P（{A_1}）P（{B_3}）+P（{A_3}）P（{B_1}）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$；$P（X=3）=P（{A_2}）P（{B_2}）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$；$P（X=2）=P（{A_2}）P（{B_3}）+P（{A_3}）P（{B_2}）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$；$P（X=1）=P（{A_3}）P（{B_3}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
随机变量X的分布列为：…8分

X	7	5	4	3	2	1
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$

$E（X）=7×\frac{1}{12}+5×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{12}+2×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{6}=\frac{10}{3}$．…10分
（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．…12分
当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；
当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线．

点评 本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值，属中档题型．