Question

2．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x＜0\\ y＞0\\ x+y-2≤0\\ x-y+4≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为1．

Answer 1

分析 画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．

解答 解：由z=x+my得y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，
若m＞0，
则目标函数的斜率k=$-\frac{1}{m}$＜0，
作出不等式组对应的平面区域如图：
若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，
由平移可知当直线y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$与AB平行时，满足条件，
此时$-\frac{1}{m}$=-1，解得m=1，
若m＜0，则k=$-\frac{1}{m}$＞0，
若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，
则直线y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，经过点0时，目标函数取得最大值，此时最大值只有一个，不满足条件．
故答案为：1

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．