Question

7．已知函数f（x）=2sinωx$（{\sqrt{3}cosωx+sinωx}）（{x∈R}）$的图象的一条对称轴为x=π，其中ω为常数，且$ω∈（{\frac{1}{3}，1}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$f（{\frac{6}{5}A}）=3，b+c=3$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，结合正弦函数的对称轴，可得ω，再由周期公式，可得所求周期；
（Ⅱ）由条件f（$\frac{6}{5}$A）=3，化简计算可得A，再由余弦定理，结合配方和基本不等式，即可得到a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx$（{\sqrt{3}cosωx+sinωx}）（{x∈R}）$
=$\sqrt{3}$（2sinωxcosωx）+2sin²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1
=1+2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
图象的一条对称轴为x=π，则2ωπ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$．k∈Z，
由$ω∈（{\frac{1}{3}，1}）$，可得ω=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
则函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{6π}{5}$；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+1，
f（$\frac{6}{5}$A）=2sin（$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{5}$A-$\frac{π}{6}$）+1=3，则有sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
A∈（0，π），即有2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$）．
则2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc
≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，
当且仅当b=c=$\frac{3}{2}$时，a的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查正弦函数的周期公式和三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．