Question

4．设函数f（x）=（x+1）²ln（x+1）+bx，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=0．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥$\frac{3}{2}{x^2}$；
（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（0）=1+b=0，即可得到b的值；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，构造函数$g（x）={（x+1）^2}ln（x+1）-x-\frac{3}{2}{x^2}$，（x≥0），求出导数，判断符号，确定函数的单调性，即可得证；
（Ⅲ）设h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，讨论①当$m≤\frac{3}{2}$时，②当$m＞\frac{3}{2}$时，通过导数判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ） 定义域为（-1，+∞），f′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（x+1）+b，
f′（0）=1+b=0，解得b=-1；                   
（Ⅱ）证明：f（x）=（x+1）²ln（x+1）-x，
设$g（x）={（x+1）^2}ln（x+1）-x-\frac{3}{2}{x^2}$，（x≥0），
g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-2x，（g′（x））′=2ln（x+1）≥0，
∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（0）=0，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．
∴$f（x）≥\frac{3}{2}{x^2}$．                                  
（Ⅲ）设h（x）=（x+1）²ln（x+1）-x-mx²，
①当$m≤\frac{3}{2}$时，
由（Ⅱ），$h（x）={（x+1）^2}ln（x+1）-x-m{x^2}≥{（x+1）^2}ln（x+1）-x-\frac{3}{2}{x^2}≥0$，
f（x）≥mx²恒成立．
②当$m＞\frac{3}{2}$时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2mx=2（x+1）ln（x+1）-（1-2m）x，
h′′（x）=2ln（x+1）+3-2m，令h′′（x）=0，得${x_0}={e^{\frac{2m-3}{2}}}-1＞0$，
当x∈[0，x₀）时，h′（x）＜h′（0）=0，
∴h（x）在[0，x₀）上单调递减∴h（x）＜h（0）=0，不成立．
综上，$m≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式的证明和不等式恒成立，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．