Question

19．已知f（x）=e^x（x-a-1）-$\frac{1}{2}$x²+ax，a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈（0，1）时，f（x）＜-a-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，根据导导函数和0的关系由此可得f（x）的单调性；
（Ⅱ）需要分类讨论，根据函数的单调求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x-a）-x+a=（x-a）（e^x-1），
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单增；
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单增．
所以，f（x）在（-∞，0）和（a，+∞）分别单调递增；在（0，a）单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
当a≥1时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）＜f（0）=-a-1．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递减；在（a，1）单调递增，
则f（x）＜-a-1当且仅当f（1）=-ae+a-$\frac{1}{2}$≤-a-1，
解得：$\frac{1}{2（e-2）}$≤a＜1．
综上：a的取值范围是[$\frac{1}{2（e-2）}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性和最值，正确运用导数是关键，属于中档题．