Question

7．在某学校组织的一次利于定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q₁为$\frac{1}{4}$，在B处的命中率为q₂．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

ξ	0	2	3	4	5
P	$\frac{3}{25}$	p1	p2	p3	p4

（I）求q₂的值；
（Ⅱ）求随机变量ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”由对立事件和相互独立事件性质求的概率．
（Ⅱ）由题意列出随机变量的所有情况以及求出其概率继而得到期望．

解答 解：（Ⅰ）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”
由对立事件和相互独立事件性质可知，
P（ξ=0）=（1-q₁）$（1-{q}_{2}）^{2}=\frac{3}{25}$
即$\frac{3}{4}（1-{q}_{2}）^{2}=\frac{3}{25}$，解得${q}_{2}=\frac{3}{5}$
（Ⅱ）由题意知：
P₁=P（ξ=2）=$（1-\frac{1}{4}）{C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{36}{100}$，
P₂=P（ξ=3）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}=\frac{4}{100}$
P₃=P（ξ=4）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{27}{100}$
P₄=P（ξ=5）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{4}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$
∴Eξ=$0×\frac{3}{25}+2×\frac{36}{100}+3×\frac{4}{100}+4×\frac{27}{100}$$+5×\frac{21}{100}=\frac{288}{100}=2.88$

点评 本题主要考查了对立事件和相互独立事件爱你的性质以及随机变量的期望的求法，属中档题型．