Question

16．已知O为坐标原点，双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的右焦点F，以F为圆心，OF为半径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}$＜0，则双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． （1，2）
• C． （2，+∞）
• D． $（{1，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 如图，设OF的中点为M，则$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}＜0$等价于$（{2\overrightarrow{AM}}）•（{2\overrightarrow{MF}}）＜0?\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MF}＞0?0＜∠AMF＜\frac{π}{2}$，也就是要求点A的横坐标${x_A}＞\frac{c}{2}$，求出点A的横坐标，即可求出双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：取M为OF中点，则$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}＜0$等价于$（{2\overrightarrow{AM}}）•（{2\overrightarrow{MF}}）＜0?\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MF}＞0?0＜∠AMF＜\frac{π}{2}$．
也就是要求点A的横坐标${x_A}＞\frac{c}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-c）^2}+{y^2}={c^2}\\ y=\frac{b}{a}x\end{array}\right.$
解得${x_A}=\frac{{2{a^2}}}{c}$，故需$\frac{{2{a^2}}}{c}＞\frac{c}{2}$，解得e＜2，则e∈（1，2）．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．