Question

1．已知命题P：?b∈（-∞，2），f（x）=x²+bx+c在（-∞，-1）上为减函数；命题Q：?x₀∈Z，使得2${\;}^{{x}_{0}}$＜1．则在命题￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中任取一个命题，则取得真命题的概率是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 命题P：f（x）=$（x+\frac{b}{2}）^{2}$+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，?b∈（-∞，2），其对称轴为x=-$\frac{b}{2}$＞-1，且开口向上，即可得出f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即可判断出命题P的真假；对于命题Q：又由2${\;}^{{x}_{0}}$＜1，利用指数函数的性质可得解得x₀＜0，取x₀=-1∈Z，满足条件，即可判断出命题Q真假，再利用复合命题真假的判定方法可得：在命题￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中，只有P∨￢Q是真命题，再利用古典概率计算公式即可得出．

解答 解：命题P：?b∈（-∞，2），f（x）=x²+bx+c=$（x+\frac{b}{2}）^{2}$+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，其对称轴为x=-$\frac{b}{2}$＞-1，
且开口向上，∴f（x）=x²+bx+c在（-∞，-1）上为减函数，∴命题P正确；
对于命题Q：又由2${\;}^{{x}_{0}}$＜1，解得x₀＜0，∴?x₀=-1∈Z，满足条件，∴命题Q也正确．
在命题￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中，只有P∨￢Q是真命题，其余都是假命题，
故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、古典概率计算公式，考查了推理能力，属于中档题．