Question

6．如图所示，ABFC-A₁B₁F₁C₁为正四棱柱，D为BC上一点，且A₁B∥平面AC₁D，D₁是B₁C₁的中点，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C．求证：
（Ⅰ）平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）BC₁⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面平行的判定定理进行证明平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明BC₁⊥B₁D．

解答 证明：（Ⅰ）∵A₁B∥平面AC₁D，
∴设A₁C的中点为E，
则平面A₁BC∩平面AC₁D=ED，
∴A₁B∥ED；
∵E是AC₁的中点，
∴D是BC的中点，
即BDC₁D₁为平行四边形，
∴BD₁∥DC₁，A₁D₁∥AD，
∵BD₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，AD?平面AC₁D，
∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D；
（Ⅱ）∵BC₁⊥AB₁，BC₁⊥AC₁，
∴BC₁⊥FB₁，
∵AB₁∩B₁F=B₁，
∴BC₁⊥平面AB₁F，
∵DB₁?平面AB₁F，
∴BC₁⊥B₁D．

点评 本题主要考查面面平行和线面垂直性质定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．