Question

5．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，则|x-2y-1|的取值范围是[0，5]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：设z=x-2y-1，则y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$+$\frac{1}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$+$\frac{1}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$+$\frac{1}{2}$过点A时，
直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$+$\frac{1}{2}$的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即A（1，0），
代入目标函数z=x-2y-1，
得z=1-1=0
∴目标函数z=x-2y-1的最大值是0．
经过B时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$-$\frac{1}{2}$的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（2，3），
此时z=2-6-1=-5，
即-5≤z≤0，
则0≤|z|≤5，
即|x-2y-1|的取值范围是[0，5]，
故答案为：[0，5]

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．