Question

1．设向量$\overrightarrow m$=（sin2ωx，cos2ωx），$\overrightarrow n$=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为$P（\frac{π}{6}，1）$，在原点右侧与x轴的第一个交点为$Q（\frac{5π}{12}，0）$．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=-1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，且a+b=2$\sqrt{3}$，求边长c．

Answer 1

分析 （I）利用向量的数量积通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用已知条件求解解析式即可．
（II）求出C，利用$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，以及余弦定理即可求出c的值．

解答 解：（I）因为向量$\overrightarrow m$=（sin2ωx，cos2ωx），$\overrightarrow n$=（cosφ，sinφ），
所以$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin（2ωx+φ），----------------1分
由题意$\frac{T}{4}=\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}∴T=π∴ω=1$，-----------------------------3分
将点$P（\frac{π}{6}，1）$代入y=sin（2x+φ），得$sin（2×\frac{π}{6}+φ）=1$，
所以$φ=\frac{π}{6}+2kπ，（k∈{Z}）$，又因为$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$-------------------5分
即函数的表达式为$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}），（x∈R）$．---------------------6分
（II）由f（C）=-1，即$sin（2C+\frac{π}{6}）=-1$
又∵0＜C＜π，∴$C=\frac{2π}{3}$------------------------8分
由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，知$abcosC=-\frac{3}{2}$，
所以ab=3-----------------10分
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=${（2\sqrt{3}）^2}-2×3-2×3×（-\frac{1}{2}）=9$
所以 c=3----------------------------------------------------12分．

点评 本题考查余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．