Question

如图a所示，正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A―DC―B，如图b所示．

(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角B―AC―D的大小；

(3)求点C到平面DEF的距离．

Answer 1

解法一：(1)在△ABC中，∵E、F分为AC、BC中点．∴EF//AB。

    又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．

(2)过D作DG⊥AC于G，连接BG．

    ∵AD⊥CD，BD⊥CE，

    ∴∠ADB是二面角A―CD―B的平面角．

    ∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．

    ∴BD⊥平面ADC．∴BG⊥AC．

    ∴∠BGD是二面角B―AC―D的平面角

   在Rt△ADC中，AD=，BC=，AC=2．

   ∴DG=．

   在Rt△BDG中，tan∠BGD=

   ∴∠BGD=arctan．

   即二面角B―AC―D的大小为arctan．

    (3)过E作EH⊥DC于H．

    ∵BD⊥平面ADC，又EH平面ADC，

∴BD⊥EH，∴EH⊥平面BCD．

∵EH= AD=，S_△CDF=S_△BCD=，

cos∠EDF=，

sin∠EDF=．

S_△DEF=DE?DF?sin∠EDF=．

设点C到平面DEF的距离为h．

∴V_C-DEF=V_E-CDF，

∴，

即，．故点C到平面DEF的距离为．

解法二：(1)如图所示，建立空间直角坐标系O―,

则D(0，0，0)，A(0，0，)，B(，0，0)，

C(0，，0)，E(0，，)，F(，，0)，

∴，．

    ∴，∴

∴AB//EF，且EF平面DEF．

∴AB∥平面DEF．

(2)∵为平面ACD的一个法向量，

设n=(，，z)为平面ABC的一个法向量，则

    ，取，

∴n=(1，，1)

∴．

∴二面角B―AC―D的大小为．

(3)设m=(，，z)为平面DFE的一个法向量，则

    取=1，则．

    ∴m=(，1，)．

    

    ∴点C到平面DEF的距离为

    d=

    =

    =