知椭圆
的离心率为
，定点
，椭圆短轴的端点是
，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
且斜率不为0的直线交椭圆于
两点.试问
轴上是否存在异于的定点
，使
平分
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
（1）
；（2）存在，
.
解析试题分析：（1）由离心率为可得到一个关于
的方程，再根据MB1⊥MB2即可得
；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A，B两点坐标设出，但不求出.注意到平分，则直线
的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P的坐标.
试题解析：（1）由
得
又,知
是等腰直角三角形，从而.
所以椭圆C的方程是. 5分
（2）设
，直线AB的方程为
由
得
，
所以
①，
② 8分
若平分，则直线的倾斜角互补，
所以
设
，则有
， 10分
将
代入上式，整理得
，
将①②代入得
，由于上式对任意实数都成立，所以
.
综上，存在定点，使平分PM平分∠APB. 13分
考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式.
开心蛙口算题卡系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆
，若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若存在直线
，使得直线
与椭圆分别交于
两点，与圆分别交于
两点，点
在线段
上，且
，求圆的半径
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在
轴上方有一段曲线弧
，其端点
、
在轴上（但不属于），对上任一点
及点
，
，满足：
．直线
，
分别交直线
于
，
两点．
（Ⅰ）求曲线弧的方程；
（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，直线l与抛物线
相交于不同的两点A，B.
（I）如果直线l过抛物线的焦点，求
的值；
（II）如果
，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
过点
,离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）过点
且斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，直线
、
分别交直线
于
、
两点,线段
的中点为
.记直线
的斜率为
，求证: 
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知△ABC中, 点A，B的坐标分别为A（－
，0），B（，0）点C在x轴上方．
（Ⅰ）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：
（Ⅱ）过点P（m，0）作倾斜角为
的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，P为椭圆
上任意一点，且
的最小值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）动圆
与椭圆相交于A、B、C、D四点，当
为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.
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焦点为
，直线
经过点
相交于
，
两点 
的中点在直线
上，求直线
，求直线