如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
(I).(II)
.
解析试题分析:(I)由椭圆的定义,曲线是以
,
为焦点的半椭圆,
利用的关系,得到
的方程为
.
要特别注意有限制.
(II)设并代入椭圆方程得到
,根据
,
,可以得到直线
的方程,进一步令可
得
,
的纵坐标分别,将
用纵坐标表出,应用“基本不等式”,得到其最小值.
本解答即体现此类问题的一般解法“设而不求”,又反映数学知识的灵活应用.
试题解析:(I)由椭圆的定义,曲线是以
,
为焦点的半椭圆,
.
∴的方程为
. 4分
(注:不写区间“”扣1分)
(II)由(I)知,曲线的方程为
,设
,
则有, 即
①
又,
,从而直线
的方程为
AP:; BP:
6分
令得
,
的纵坐标分别为
;
.
∴② 将①代入②, 得
. 8分
∴.
当且仅当,即
时,取等号.
即的最小值是
. 12分
考点:椭圆的定义,直线与椭圆的位置关系,基本不等式的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
,最小值为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点
、
,且线段
的垂直平分线过定点
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,F1,F2分别是椭圆C:+
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系上取两个定点
,再取两个动点
且
.
(I)求直线与
交点的轨迹
的方程;
(II)已知,设直线:
与(I)中的轨迹
交于
、
两点,直线
、
的倾斜角分别为
且
,求证:直线过定点,并求该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,以F1,F2为焦点的椭圆C过点
.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设点,过点F2作直线
与椭圆C交于A,B两点,且
,若
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
知椭圆的离心率为
,定点
,椭圆短轴的端点是
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆
于
两点.试问
轴上是否存在异于
的定点
,使
平分
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左焦点为
,离心率为
,过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1) 求椭圆方程.
(2) 过点的直线
与椭圆交于不同的两点
,当
面积最大时,求
.
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