Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°

(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值

Answer 1

(1);(2)

解析试题分析：(1)要掌握椭圆的几何性质以及图形中对应的线段，上图中，，， （2）可用代数法，以为参数，写出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而求出的面积，再利用面积为，求出，即求出；当然也可几何方法，由于，在中利用余弦定理，可把用表示出来，再利用面积为，可求出 
试题解析：(1)由题意可知，△AF₁F₂为等边三角形，a＝2c，所以e＝    3
(2)( 方法一)a²＝4c²，b²＝3c²
直线AB的方程可为y＝－(x－c)
将其代入椭圆方程3x²＋4y²＝12c²，               5
得B                7
所以|AB|＝·＝c         9
由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|sin∠F₁AB         10
＝a·c·＝a²＝40，
解得a＝10，b＝5               12
(方法二)设|AB|＝t
因为|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a
由椭圆定义|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t
再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos60°可得，
t＝a
由＝a·a·＝a²＝40知，a＝10，b＝5 
考点：（1）椭圆的离心率；（2）椭圆的定义和三角形的面积、余弦定理