在直角坐标系上取两个定点
,再取两个动点
且
.
(I)求直线与
交点的轨迹
的方程;
(II)已知,设直线:
与(I)中的轨迹
交于
、
两点,直线
、
的倾斜角分别为
且
,求证:直线过定点,并求该定点的坐标.
(I);(II)定点为
.
解析试题分析:(I)已知条件是,因此我们可以设直线
与
交点
的坐标为
,把
与
建立起联系,利用已知
得到交点
的轨迹方程,而这个联系就是直线
与
的方程;(II)要证明直线过定点,应该求出
的关系,而已知的是直线
、
的倾斜角
且
,说明它们的斜率之和为0,设直线
与轨迹
的交点为
,则
,
,那么
,变形得
,这里
,
可由直线
与轨迹
的方程联立,消去
得关于
的二次方程,由韦达定理得到
,
,代入上式可得到结论.
试题解析:(I)依题意知直线的方程为:
①,
直线的方程为:
②,
设是直线
与
的交点,①×②得
,
由 整理得
,
∵不与原点为重合,∴点
不在轨迹M上,
∴轨迹M的方程为.
(II)由题意知,直线的斜率存在且不为零,
联立方程,得
,设
、
则
,且
,
,
由已知,得
,∴
,
化简得,
代入得,整理得
.
∴直线的方程为
,因此直线
过定点,该定点的坐标为
.
考点:(I)动点转移法求轨迹方程;(II)直线和椭圆相交问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
)如图,椭圆:
,
、
、
、
为椭圆
的顶点
(Ⅰ)若椭圆上的点
到焦点距离的最大值为
,最小值为
,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线相交于
,
两点(
不是椭圆的左右顶点),并满足
试研究:直线
是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线,使得直线
与椭圆
分别交于
两点,与圆
分别交于
两点,点
在线段
上,且
,求圆
的半径
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设点为直线
上的点,求直线
的方程;
(Ⅲ) 当点在直线
上移动时,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,
|
|,8成等差数列.
(1)求P点的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足||·|
|=
,则称点M为点P对应的“比例点”.问:对任意一个确定的点P,它总能对应几个“比例点”?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在周长为定值的DDEC中,已知,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
.
(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;
(2)直线l分别切椭圆G与圆(其中
)于A、B两点,求|AB|的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,直线l与抛物线
相交于不同的两点A,B.
(I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
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