)如图,椭圆:
,
、
、
、
为椭圆
的顶点
(Ⅰ)若椭圆上的点
到焦点距离的最大值为
,最小值为
,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线相交于
,
两点(
不是椭圆的左右顶点),并满足
试研究:直线
是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
(Ⅰ) (Ⅱ)直线
过定点,定点坐标为
解析试题分析:(Ⅰ)由已知得:,
解这个方程组求出a、c即得椭圆的标准方程
(Ⅱ)将直线方程与椭圆的方程联立,
将直线方程代入椭圆方程得:
用韦达定理找到点,
的坐标与k、m的关系
再由可得A、B的坐标间的一个关系式,由此消去
得m、k之间的关系式,用此关系式将直线
的方程中的参数m或k换掉一个,由此即可看出直线是否恒过一个定点
试题解析:(Ⅰ)由已知与(Ⅰ)得:,
,
,
,
椭圆的标准方程为
4分
(Ⅱ)设,
,
联立
得,
又,
因为椭圆的右顶点为,
,即
,
,
,
解得:,
,且均满足
,
当时,
的方程为
,直线过定点
,与已知矛盾;
当时,
的方程为
,直线过定点
所以,直线过定点,定点坐标为
考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的两个焦点是F1(
c,0),F2(c,0)(c>0)。
(I)若直线与椭圆C有公共点,求
的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足 且
,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线上有一点
,到焦点
的距离为
.
(Ⅰ)求及
的值.
(Ⅱ)如图,设直线与抛物线交于两点
,且
,过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
,连接
.试判断
的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
,最小值为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点
、
,且线段
的垂直平分线过定点
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系上取两个定点
,再取两个动点
且
.
(I)求直线与
交点的轨迹
的方程;
(II)已知,设直线:
与(I)中的轨迹
交于
、
两点,直线
、
的倾斜角分别为
且
,求证:直线过定点,并求该定点的坐标.
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