如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
(1);(2)
;(3)证明见解析,定点为
.
解析试题分析:(1)本题动点依赖于圆上中
,本来这种问题可以用动点转移法求轨迹方程,但本题用动点转移法会很繁,考虑到圆的半径不变,垂直平分线的对称性,我们可以看出
,是定值,而且
,因此
点轨迹是椭圆,这样我们可以利用椭圆标准方程写出所求轨迹方程;(2)圆锥曲线的过其上点
的切线方程,椭圆
,切线为
,
双曲线,切线为
,抛物线
,切线为
;(3)这题考查同学们的计算能力,现圆锥曲线切线有关的问题,由(2)我们知道切线斜率为
,则直线
的斜率为
,又过点
,可以写出直线
方程,然后求出点
关于直线
的对称点
的坐标,从而求出直线
的方程,接着可从
的方程观察出是不是过定点,过哪个定点?这里一定要小心计算.
试题解析:(1)点
是线段
的垂直平分线,∴
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为 5′
(2)曲线在点
处的切线
的方程是
. 8′
(3)直线的方程为
,即
.
设点关于直线
的对称点的坐标为
,
则,解得
直线PD的斜率为
从而直线PD的方程为:
即,从而直线PD恒过定点
. 16′
考点:(1)椭圆的定义;(2)椭圆的切线方程;(3)垂直,对称,直线过定点问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是椭圆E:
的两个焦点,抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点,直线y=
上到焦点F1,F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上,
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)如图,过点的动直线
交椭圆于A、B两点,是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为,点
是点
关于
轴的对称点,过点
的直线交抛物线于
两点。
(Ⅰ)试问在轴上是否存在不同于点
的一点
,使得
与
轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点
的坐标,若不存在说明理由。
(Ⅱ)若的面积为
,求向量
的夹角;
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已知椭圆的左右两焦点分别为
,
是椭圆上一点,且在
轴上方,
.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)当取最大值时,过
的圆
的截
轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线上任一点
引圆
的两条切线,切点分别为
.试探究直线
是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
)如图,椭圆:
,
、
、
、
为椭圆
的顶点
(Ⅰ)若椭圆上的点
到焦点距离的最大值为
,最小值为
,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线相交于
,
两点(
不是椭圆的左右顶点),并满足
试研究:直线
是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设点为直线
上的点,求直线
的方程;
(Ⅲ) 当点在直线
上移动时,求
的最小值.
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