在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
(1)或
;(2)
.
解析试题分析:(1)涉及到圆的弦长问题,我们一般利用弦心距,弦的一半,相应半径所构成的直角三角形,本题中由弦长为,半径为2,可求得弦心距为1,此即为圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式,可求得斜率
.利用方程思想求
时要注意直线斜率不存在即直线与
轴垂直的情形.否则可能漏.(2)由(1)的分析可知直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等可得圆心
到直线
的距离与圆心
到直线
距离相等,所以我们可设
点坐标为
,直线
的方程分别为
,
,利用圆心
到直线
的距离与圆心
到直线
距离相等列出关于
的方程,再转化为关于
的方程有无穷解问题,从而得解.
试题解析:(1)设直线的方程为
,即
由垂径定理得圆心到直线
的距离
结合点到直线的距离公式得
所求直线的方程为
或
,即
或
(2)设点,直线
的方程分别为
即
由题意可知圆心到直线
的距离等于
到直线
的距离
即,化简得
,关于
的方程由无穷多解,则有
,故
.
考点:(1)点到直线距离公式;(2)方程解的个数问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为直角坐标系
的原点,焦点在
轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的动点,
为过
且垂直于
轴的直线上的点,
(
为椭圆的离心率),求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,
|
|,8成等差数列.
(1)求P点的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足||·|
|=
,则称点M为点P对应的“比例点”.问:对任意一个确定的点P,它总能对应几个“比例点”?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右焦点分别是
,离心率
,
为椭圆上任一点,且
的最大面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线
交椭圆
于
两点,且以
为直径的圆恒过原点
,若实数
满足条件
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,直线
、
分别交直线
于
、
两点,线段
的中点为
.记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为
,且经过点
,直线
交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求的取值范围;,
(2)若直线不经过点
,求证:直线
的斜率互为相反数.
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