已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
。
（1）求双曲线的方程；
（2）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围。
（1）
；(2)的取值范围是
解析试题分析：（1）本题较易，注意利用已知条件建立方程组
解得
，
即得所求.
（2）从确定三角形的面积表达式入手，建立的不等式
.通过设直线的方程为
，建立方程组
并整理，建立
的不等关系；
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
，
，
得到线段的垂直平分线的方程为
，
求得此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
，
从而利用
，整理得
，
，
将上式代入的不等关系式，得到的不等式.
试题解析：（1）设双曲线的方程为
，
由题设得解得，
所以双曲线方程为.
（2）设直线的方程为，点
的坐标满足方程组，整理得
，此方程有两个不等实根，
于是
且
，
整理得
......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，，
从而线段的垂直平分线的方程为
，
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，
由题设可得，整理得，，
将上式代入③式得
，
整理得
，，解得
或
，
所以的取值范围是
考点：双曲线的标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式.
全能测控一本好卷系列答案
发散思维新课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在
轴上，焦距为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线
经过点
（0,1），且与椭圆C交于
两点，若
，求直线的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．
(Ⅰ）求椭圆
的方程；
(Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图示：已知抛物线
的焦点为
，过点作直线
交抛物线
于
、
两点，经过、两点分别作抛物线的切线
、
，切线与相交于点
.
（1）当点
在第二象限，且到准线距离为
时，求
；
（2）证明：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
：
的左、右焦点分别是
、
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图.若抛物线
：
与
轴的交点为，且经过、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
，
为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于
、
两点，求
面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知圆
和圆
.
（1）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线的方程；
（2）设
为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线
和
，它们分别与圆和圆
相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设双曲线
以椭圆
的两个焦点为焦点,且双曲线的一条渐近线是
，
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
与双曲线交于不同两点
,且都在以
为圆心的圆上,求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，当
时，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过右焦点F2 ，斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
两点，A为椭圆的右顶点，直线
、
分别交直线
于点
、
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
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