已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
(1);(2)
的取值范围是
解析试题分析:(1)本题较易,注意利用已知条件建立方程组解得
,
即得所求.
(2)从确定三角形的面积表达式入手,建立的不等式
.通过设直线的方程为
,建立方程组
并整理,建立
的不等关系;
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
,
,
得到线段的垂直平分线的方程为
,
求得此直线与轴,
轴的交点坐标分别为
,
,
从而利用,整理得
,
,
将上式代入的不等关系式,得到
的不等式.
试题解析:(1)设双曲线的方程为
,
由题设得解得
,
所以双曲线方程为.
(2)设直线的方程为
,点
的坐标满足方程组
,整理得
,此方程有两个不等实根,
于是且
,
整理得......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
,
,
从而线段的垂直平分线的方程为
,
此直线与轴,
轴的交点坐标分别为
,
,
由题设可得,整理得
,
,
将上式代入③式得,
整理得,
,解得
或
,
所以的取值范围是
考点:双曲线的标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,三角形面积公式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线经过点
(0,1),且与椭圆C交于
两点,若
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆
相交于
、
两点. ①若线段
中点的横坐标为
,求斜率
的值;②若点
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图示:已知抛物线的焦点为
,过点
作直线
交抛物线
于
、
两点,经过
、
两点分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
.
(1)当点在第二象限,且到准线距离为
时,求
;
(2)证明:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,下顶点为
,线段
的中点为
(
为坐标原点),如图.若抛物线
:
与
轴的交点为
,且经过
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
上的一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
、
两点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设双曲线以椭圆
的两个焦点为焦点,且双曲线
的一条渐近线是
,
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线
交于不同两点
,且
都在以
为圆心的圆上,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的一个顶点为,焦点在
轴上,若右焦点到直线
的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
、
,当
时,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F1B1F2为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点F2 ,斜率为(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,A为椭圆的右顶点,直线
、
分别交直线
于点
、
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
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