Question

已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、，当时，求的取值范围.

Answer 1

(1)；（2）.

解析试题分析：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、交点问题、直线的斜率、韦达定理等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，根据条件，设椭圆的方程，写出，得焦点，代入点到直线的距离公式，得，得到椭圆的方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消，得关于的一元二次方程，据条件有两个不同实根，所以，解得，利用韦达定理，求得得中点的横纵坐标，求，由，得，整理得，最后解方程组得.
试题解析：（1）依题意可设椭圆方程为，          .2分
则右焦点的坐标为，                .3分
由题意得，解得，
故所求椭圆的标准方程为.                .5分
（2）设、、，其中为弦的中点，
由，得        .7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以
即   ①，                                .8分
，所以，
从而 ,                            .9分
所以，                       .10分
又，所以，
因而，即  ②，          .11分
把②式代入①式得，解得，           .12分
由②式得，解得，                .13分
综上所述，求得的取值范围为.             .14分
考点：1.点到直线的距离公式；2.椭圆的标准方程；3.椭圆的性质；4.韦达定理；5.线线垂直的充要条件.