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如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得若存在求的值;若不存在,说明理由.

(Ⅰ);(Ⅱ).

解析试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的定义、几何性质可求;(Ⅱ)直线与椭圆相交,联立消元,设点代入化简可求.
试题解析:(Ⅰ)由在椭圆上得,  ①
依题设知,则   ②
②代入①解得.
故椭圆的方程为.         5分
(Ⅱ)由题意可设的斜率为, 则直线的方程为   ③
代入椭圆方程并整理,
,                                      7分
,则有     ④
在方程③中令得,的坐标为.
从而.
注意到共线,则有,即有.  
所以 
    ⑤                           11分
④代入⑤得,
,所以.故存在常数符合题意.       15分
考点:椭圆,根与系数关系,坐标表示.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,若右焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点F2 ,斜率为)的直线与椭圆相交于两点,A为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.求证:为定值.

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如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限.过轴的垂线,垂足为.连接,并延长交椭圆于点.设直线的斜率为

(Ⅰ)当直线平分线段时,求的值;
(Ⅱ)当时,求点到直线的距离;
(Ⅲ)对任意,求证:

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知动点到定点的距离之和为.
(Ⅰ)求动点轨迹的方程;
(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知点的坐标分别是,直线相交于点,且它们的斜率之积为
(1)求点轨迹的方程;
(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点,试求面积的取值范围(为坐标原点).

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的左右焦点分别为,且经过点,为椭圆上的动点,以为圆心,为半径作圆.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆轴有两个交点,求点横坐标的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的离心率为为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,若为坐标原点),求证:直线与圆相切.

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