精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆的方程;
(2)如图,是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线轴于点,直线于点,设的斜率为的斜率为,求证:为定值.

(1)椭圆的方程为;(2)详见解析.

解析试题分析:(1)先根据题中条件求出,进而可以求出椭圆的方程;(2)先由直线的方程与椭圆的方程联立求出点的坐标,然后由三点共线,利用平面向量共线进行等价转化,求出点的坐标,于是得到直线的斜率,最终证明为定值.
试题解析:(1)由直线与圆
,得,所以
所以椭圆的方程为
(2)因为不为椭圆定点,即的方程为,①②
将①代入,解得
又直线的方程为, ②
三点共线可得
所以的斜率为,则(定值).
考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的公共点的求解;3.直线的斜率;4.三点共线

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设椭圆的左、右焦点分别是,下顶点为,线段的中点为为坐标原点),如图.若抛物线轴的交点为,且经过两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为抛物线上的一动点,过点作抛物线的切线交椭圆两点,求面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设双曲线以椭圆的两个焦点为焦点,且双曲线的一条渐近线是
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于不同两点,且都在以为圆心的圆上,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点F在轴上,离心率,点在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线交椭圆两点,且成等差数列,点M(1,1),求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,若右焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

以点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆C经过点(1,)。
(I)求椭圆C的方程;
(II)过P点分别以为斜率的直线分别交椭圆C于A,B,M,N,求证: 使得

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于两点,当圆的半径最长是,求

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知动点到定点的距离之和为.
(Ⅰ)求动点轨迹的方程;
(Ⅱ)设,过点作直线,交椭圆异于两点,直线的斜率分别为,证明:为定值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案