设椭圆:的左、右焦点分别是、,下顶点为,线段的中点为(为坐标原点),如图.若抛物线:与轴的交点为,且经过、两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,为抛物线上的一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于、两点,求面积的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)的面积的最大值为.
解析试题分析:(Ⅰ)求椭圆的方程,本题解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的值,抛物线:与轴的交点为,且经过、两点,求出、、两点点的坐标,即可求出椭圆的半长轴与半焦距,再求出,就能写出椭圆方程;(Ⅱ)设,为抛物线上的一动点,过点作抛物线的切线交椭圆于、两点,求面积的最大值,利用抛物线线上的点的切线方程与圆联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边长度与高,表示出△MPQ的面积利用函数的知识求出最值,设(),表示出过点的抛物线的切线方程,与椭圆的方程联立,利用弦长公式表示出线段的长度,再求出点到直线的距离为,表示出面积,由于其是参数的函数,利用函数的知识求出其最值即可得到,的面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由题意可知B(0, 1),则A(0, 2),故b=2. 2分
令y=0得即,则F1( 1,0),F2(1,0),故c =1. 4分
所以.于是椭圆C1的方程为:. 6分
(Ⅱ)设N(),由于知直线PQ的方程为:
. 即. 7
代入椭圆方程整理得:,
=,
, , 9分
故
. 10分
设点M到直线PQ的距离为d,则.
所以,的面积S
12分
当时取到“=”,经检验此时,满足题意.
综上可知,的面积的最大值为. 13分
考点:圆锥曲线的综合,椭圆的标准方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点(,是常数),且动点到轴的距离比到点的距离小.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)(i)已知点,若曲线上存在不同两点、满足,求实数的取值范围;
(ii)当时,抛物线上是否存在异于、的点,使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P,Q两点,满足直线的斜率依次成等比数列,
求面积的取值范围.
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如图,点分别是椭圆C:的左、右焦点,过点作轴的垂线,交椭圆的上半部分于点,过点作的垂线交直线于点.
(1)如果点的坐标为(4,4),求椭圆的方程;
(2)试判断直线与椭圆的公共点个数,并证明你的结论.
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已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
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已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.
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已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,、、是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为,求证:为定值.
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已知椭圆:的左焦点为,右焦点为.
(Ⅰ)设直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程;
(Ⅱ)设为坐标原点,取曲线上不同于的点,以为直径作圆与相交另外一点,求该圆的面积最小时点的坐标.
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