已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P,Q两点,满足直线
的斜率依次成等比数列,
求面积的取值范围.
(1) ;(2)
.
解析试题分析:(1)先设出椭圆方程为,再根据条件离心率为
及椭圆上的点
,代入即可得到椭圆方程;(2)先设出直线
方程
及
,然后联立椭圆方程得到
及
.再由直线
的斜率依次成等比数列得到
,由
得到
.代入
中及直线
的斜率存在得到
,且
,然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到
面积
.最后由基本不等式得到
,从而得到
面积的取值范围.
试题解析:(1) 由题意可设椭圆方程为,则
(其中
,
),且
,故
.
所以椭圆的方程为.
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0.故可设直线
:
,
设,
由,消去
得
,
则,
且,
故,
因为直线的斜率依次成等比数列,
所以,即
.
又,所以
,即
.
由于直线的斜率存在,且
,得
,且
,
设为点
到直线
的距离,则
,
,
所以,
故面积的取值范围为
.
考点:1.椭圆的标准方程及几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.点到直线的距离公式;4.基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点,并求出该定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆
相交于
、
两点. ①若线段
中点的横坐标为
,求斜率
的值;②若点
,求证:
为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证: 直线l过定点,并求出该定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,下顶点为
,线段
的中点为
(
为坐标原点),如图.若抛物线
:
与
轴的交点为
,且经过
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
上的一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
、
两点,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆C经过点(1,)。
(I)求椭圆C的方程;
(II)过P点分别以为斜率的直线分别交椭圆C于A,B,M,N,求证:
使得
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com