在抛物线 y2＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围．
解析试题分析：设B,C关于直线
对称，根据直线垂直斜率之积等于
，可知直线AB的斜率为
，但这样就会有一个弊端，也就是当直线l斜率为0时，直线AB的斜率就不存在了，所以这时就需要讨论。为了省去讨论的麻烦可直接将直线AB方程设为
，设出B,C坐标可得出中点M的坐标，由对称性可知中点M恒在直线l上，代入方程得到方程
，用k表示出m，还是有对称性可知中点M恒在抛物线内部，得到不等式
，代入
代入即可得出k的范围。
试题解析：设B,C关于直线对称，直线BC方程为，代入y2＝4x，得
。设
，B,C中点
，所以
，因为在直线
上，所以，整理得
，因为在抛物线y2＝4x内部，则，把m代入化简得
，即
，解得
考点：点关于直线的对称点问题，直线和圆锥曲线的位置关系问题
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名校作业本系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆交于
，
两点，点关于坐标原点的对称点为
，直线
，
分别交椭圆的右准线
于
，
两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为
，试求直线的方程；
（3）记，两点的纵坐标分别为
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的左、右焦点分别为
，椭圆的离心率为
，且椭圆C经过点
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段
是椭圆过点
的弦，且
，求
内切圆面积最大时实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
（1）求抛物线方程；
（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆锥曲线
的两个焦点坐标是
，且离心率为
；
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设曲线
表示曲线的
轴左边部分，若直线
与曲线相交于
两点，求
的取值范围；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果
，且曲线上存在点
，使
，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆的右焦点
作直线
，使
，又与
交于点
，设与椭圆的两个交点由上至下依次为
、
.
（1）若
与的夹角为
，且双曲线的焦距为
，求椭圆的方程；
（2）求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，其左焦点
到点
的距离为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点
的直线与椭圆交于不同的两点
、
，则
内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知点
（
，
是常数），且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）（i）已知点
，若曲线
上存在不同两点
、
满足
，求实数的取值范围；
（ii）当
时，抛物线
上是否存在异于、的点
，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线
与该椭圆交于P，Q两点，满足直线
的斜率依次成等比数列，
求
面积的取值范围.
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