已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．
(Ⅰ）求椭圆
的方程；
(Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值．
(Ⅰ)
；(Ⅱ)①
；②
.
解析试题分析：(Ⅰ)根据已知条件可设椭圆方程为：
，则有
，
，
，求解即可得到
和
的值，将对应的解代入椭圆方程即可；(Ⅱ)①将直线方程
代入椭圆方程求得，
，求得
、
两点的横坐标之和为
，由已知条件“
中点的横坐标为”，得到
，从而解得
的值；
②根据①的、两点的坐标求得
③，结合、两点坐标满足直线方程，将③式化简整理得
，再由①中的根与系数的关系：，
，代入化简即可.
试题解析：(Ⅰ)因为满足，，，
解得
，
，
则椭圆方程为：. 3分
(Ⅱ)①将代入中得，，
，
设
，
，则，
因为中点的横坐标为，所以，
解得. 6分
②由①知，，，
所以
. 12分
考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质；3.方程的根与系数的关系；4.中点坐标公式；5.平面向量的数量积
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名校作业本系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆的右焦点
作直线
，使
，又与
交于点
，设与椭圆的两个交点由上至下依次为
、
.
（1）若
与的夹角为
，且双曲线的焦距为
，求椭圆的方程；
（2）求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在直角坐标系
中，已知中心在原点，离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程；
⑵设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线
，当直线都与圆
相切时，求P点坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线
与该椭圆交于P，Q两点，满足直线
的斜率依次成等比数列，
求
面积的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
。
（1）求双曲线的方程；
（2）若以
为斜率的直线
与双曲线相交于两个不同的点
，且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围。
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，求曲线过点
的切线方程。
，且和直线
相切，
5，求M点的坐标．
：
．过点
的直线
交
两点．抛物线
处的切线与在点
处的切线交于点
．
；
面积的最小值．
的焦点为
，其准线与
轴的交点为
，过
交抛物线于
两点．
，求证：
；
的斜率分别为
，求
的值．