已知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆
相交于
、
两点. ①若线段
中点的横坐标为
,求斜率
的值;②若点
,求证:
为定值.
(Ⅰ);(Ⅱ)①
;②
.
解析试题分析:(Ⅰ)根据已知条件可设椭圆方程为:,则有
,
,
,求解即可得到
和
的值,将对应的解代入椭圆方程即可;(Ⅱ)①将直线方程
代入椭圆方程求得,
,求得
、
两点的横坐标之和为
,由已知条件“
中点的横坐标为
”,得到
,从而解得
的值;
②根据①的、
两点的坐标求得
③,结合
、
两点坐标满足直线方程
,将③式化简整理得
,再由①中的根与系数的关系:
,
,代入化简即可.
试题解析:(Ⅰ)因为满足
,
,
,
解得,
,
则椭圆方程为:. 3分
(Ⅱ)①将代入
中得,
,
,
设,
,则
,
因为中点的横坐标为
,所以
,
解得. 6分
②由①知,,
,
所以. 12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的性质;3.方程的根与系数的关系;4.中点坐标公式;5.平面向量的数量积
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的方程为
,双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
的右焦点
作直线
,使
,又
与
交于点
,设
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
、
.
(1)若与
的夹角为
,且双曲线的焦距为
,求椭圆
的方程;
(2)求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P,Q两点,满足直线
的斜率依次成等比数列,
求面积的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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