已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线经过点
(0,1),且与椭圆C交于
两点,若
,求直线
的方程.
(1);(2)
或
.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程等基础知识,考查用代数法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,先利用椭圆的焦距、离心率求出基本量,写出椭圆方程;第二问,由于直线经过(0,1)点,所以先设出直线方程,与椭圆联立,消参得到关于x的方程,先设出点坐标,通过方程得到两根之和、两根之积,再由
,得出
,联立上述表达式得k的值,从而得到直线方程.
试题解析:(1)设椭圆方程为,
因为,所以
,
所求椭圆方程为 4分
(2)由题得直线的斜率存在,设直线
方程为
则由得
,且
设,则由
得
..8分
又,
所以消去
得
解得
所以直线的方程为
,即
或
12分
考点:1.椭圆的标准方程;2.直线方程;3.韦达定理.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、
为椭圆
的左、右焦点,且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
交椭圆
于
两点,则
的内切圆的面积是否存在最大值?
若存在其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的方程为
,双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆
的右焦点
作直线
,使
,又
与
交于点
,设
与椭圆
的两个交点由上至下依次为
、
.
(1)若与
的夹角为
,且双曲线的焦距为
,求椭圆
的方程;
(2)求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在求出
点坐标;若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点(
,
是常数),且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)(i)已知点,若曲线
上存在不同两点
、
满足
,求实数
的取值范围;
(ii)当时,抛物线
上是否存在异于
、
的点
,使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线,若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为直角坐标系
的原点,焦点在
轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的动点,
为过
且垂直于
轴的直线上的点,
(
为椭圆的离心率),求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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