已知椭圆的中心为直角坐标系
的原点,焦点在
轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的动点,
为过
且垂直于
轴的直线上的点,
(
为椭圆的离心率),求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(1);(2)轨迹方程为
轨迹是两条平行于x轴的线段.
解析试题分析:(1)椭圆有四个(两对)顶点,短轴的两个顶点到焦点的距离相等,这里可见是长轴的两顶点,于是有,可求得
,以及椭圆方程;(2)动点
的运动是由点
在椭圆上运动引起的,因此要求点
的轨迹方程,我们采取动点转移法,借助于点
,就是设
点坐标为
,动点
的坐标为
,想办法用
表示
,然后把
代入
点所在的椭圆的方程,即可得动点
的轨迹方程,化简即可。
试题解析:(1)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为
(2Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中
由已知得
而
,故
①
由点P在椭圆C上得 代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
考点:(1)椭圆的标准方程;(2)动点转移法求轨迹方程,轨迹。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点,
,直线AG,BG相交于点G,且它们的斜率之积是
.
(Ⅰ)求点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)圆上有一个动点P,且P在x轴的上方,点
,直线PA交(Ⅰ)中的轨迹
于D,连接PB,CD.设直线PB,CD的斜率存在且分别为
,
,若
,求实数
的取值范围.
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已知两点及
,点
在以
、
为焦点的椭圆
上,且
、
、
构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆
有且仅有一个公共点,点
是直线
上的两点,且
,
. 求四边形
面积
的最大值.
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,焦距为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线经过点
(0,1),且与椭圆C交于
两点,若
,求直线
的方程.
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
,最小值为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点
、
,且线段
的垂直平分线过定点
,求
的取值范围.
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已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
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在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
.
(1)若直线过点
,且被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等,试求所有满足条件的点
的坐标.
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