已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1);(2)
;(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用离心率及解出
和
得到椭圆的标准方程;第二问,先设出直线
的方程,因为直线与椭圆相交,消参得关于
的方程,因为相交于2个交点,所以
得到
的取值范围,设出
点坐标,则求出两根之和、两根之积及
,所以
,将上述的条件代入,得到
的表达式,求最值;第三问,先通过对称,得到点
的坐标,列出直线
的方程,令
,得
的值正好得1,所以得证.
试题解析:(1)解:由题意知,∴
,即
,
又,∴
,
故椭圆的方程为 . 2分
(2)解:由题意知直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由得:
, 4分
由得:
,
设A(x1,y1),B (x2,y2),则 ①
∴,
∴
∵,∴
,∴
,
∴的取值范围是
.
(3)∵两点关于
轴对称,∴
,
直线的方程为
,令
得:
又,
,∴
,
由将①代入得:,∴直线
与
轴交于定点
.
考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的离心率;3.直线与椭圆的位置关系;4.两根之和、两根之积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为
,
在椭圆C上,A,B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)若P是椭圆上异于A,B的动点,连结AP,PB并延长,分别与右准线相交于M1,M2.问是否存在x轴上定点D,使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在,求点D的坐标:若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在求出
点坐标;若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为直角坐标系
的原点,焦点在
轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的动点,
为过
且垂直于
轴的直线上的点,
(
为椭圆的离心率),求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程;
⑵设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线
,当直线
都与圆
相切时,求P点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右焦点分别是
,离心率
,
为椭圆上任一点,且
的最大面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线
交椭圆
于
两点,且以
为直径的圆恒过原点
,若实数
满足条件
,求
的最大值.
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