Question

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

（1）求抛物线的方程；
（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；
（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析试题分析：本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，据点到准线的距离为，直接列式求得，得到抛物线的标准方程；第二问，据条件的角平分线为，即轴，得，而，关于对称，所以，利用两点斜率公式代入得，所以求得；第三问，先求直线的方程，再求的方程，令，可得到，利用函数的单调性求函数的最值.
试题解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，
∴，即抛物线的方程为．
（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
设，，
∴，  ∴ ，
∴．   ．
法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，
联立方程组，得，
∵  ∴，．
同理可得，，∴．
（3）法一：设，∵，∴，
可得，直线的方程为，
同理，直线的方程为，
∴，
，
∴直线的方程为，
令，可得，
∵关于的函数在单调递增，  ∴．
法二：设点，，．
以为圆心，为半径的圆方程为