如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值.
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系,突出解析几何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,据点到准线
的距离为
,直接列式求得
,得到抛物线的标准方程;第二问,据条件
的角平分线为
,即
轴,得
,而
,
关于
对称,所以
,利用两点斜率公式代入得
,所以求得
;第三问,先求直线
的方程,再求
的方程,令
,可得到
,利用函数的单调性求函数的最值.
试题解析:(1)∵点到抛物线准线的距离为
,
∴,即抛物线
的方程为
.
(2)法一:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,
设,
,
∴, ∴
,
∴.
.
法二:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,可得
,
,∴直线
的方程为
,
联立方程组,得
,
∵ ∴
,
.
同理可得,
,∴
.
(3)法一:设,∵
,∴
,
可得,直线的方程为
,
同理,直线的方程为
,
∴,
,
∴直线的方程为
,
令,可得
,
∵关于
的函数在
单调递增, ∴
.
法二:设点,
,
.
以为圆心,
为半径的圆方程为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心为直角坐标系
的原点,焦点在
轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的动点,
为过
且垂直于
轴的直线上的点,
(
为椭圆的离心率),求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线,使得直线
与椭圆
分别交于
两点,与圆
分别交于
两点,点
在线段
上,且
,求圆
的半径
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,
|
|,8成等差数列.
(1)求P点的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足||·|
|=
,则称点M为点P对应的“比例点”.问:对任意一个确定的点P,它总能对应几个“比例点”?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆过点
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,直线
、
分别交直线
于
、
两点,线段
的中点为
.记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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