如图示:已知抛物线的焦点为
,过点
作直线
交抛物线
于
、
两点,经过
、
两点分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
.
(1)当点在第二象限,且到准线距离为
时,求
;
(2)证明:.
(1);(2)详见解析.
解析试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点的坐标,然后利用直线
过点
和点
求出直线
的方程,然后将直线
和抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义求出弦
的长;(2)先求出曲线
在点
和点
的切线方程,并求出两切线的交点
的坐标,验证
进而得到
.
试题解析:(1)抛物线的方程为
,则其焦点坐标为
,
设点,
,则有
,
由于点在第二象限,则
,将
代入
得,
,解得
,
故点的坐标为
,故直线
的方程为
,变形得
,
代入抛物线的方程并化简得,由韦达定理得
,
;
(2)设直线的方程为
,将
代入抛物线的方程并化简得
,
对任意
恒成立,
由韦达定理得,
,
将抛物线的方程化为函数解析式得,,则
,
故曲线在点
处的切线方程为
,即
,即
①,
同理可知,曲线在点
处的切线方程为
②,
联立①②得,,故点
的坐标为
,
,
而,
,
.
考点:1.抛物线的定义;2.焦点弦长的计算;3.切线方程;4.平面向量的数量积
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在求出
点坐标;若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,
|
|,8成等差数列.
(1)求P点的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足||·|
|=
,则称点M为点P对应的“比例点”.问:对任意一个确定的点P,它总能对应几个“比例点”?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右焦点分别是
,离心率
,
为椭圆上任一点,且
的最大面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线
交椭圆
于
两点,且以
为直径的圆恒过原点
,若实数
满足条件
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线的焦点为F
过点
的直线交抛物线于A
,B
两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N
(1)求的值;
(2)记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为
证明:
为定值
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