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如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线两点,经过两点分别作抛物线的切线,切线相交于点.

(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求
(2)证明:.

(1);(2)详见解析.

解析试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点的坐标,然后利用直线过点和点求出直线的方程,然后将直线和抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义求出弦的长;(2)先求出曲线在点和点的切线方程,并求出两切线的交点的坐标,验证进而得到.
试题解析:(1)抛物线的方程为,则其焦点坐标为
设点,则有
由于点在第二象限,则,将代入得,,解得
故点的坐标为,故直线的方程为,变形得
代入抛物线的方程并化简得,由韦达定理得

(2)设直线的方程为,将代入抛物线的方程并化简得
对任意恒成立,
由韦达定理得
将抛物线的方程化为函数解析式得,,则
故曲线在点处的切线方程为,即,即①,
同理可知,曲线在点处的切线方程为②,
联立①②得,,故点的坐标为

.
考点:1.抛物线的定义;2.焦点弦长的计算;3.切线方程;4.平面向量的数量积

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