如图示:已知抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点,经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.
(1)当点在第二象限,且到准线距离为时,求;
(2)证明:.
(1);(2)详见解析.
解析试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点的坐标,然后利用直线过点和点求出直线的方程,然后将直线和抛物线的方程联立,利用韦达定理与抛物线的定义求出弦的长;(2)先求出曲线在点和点的切线方程,并求出两切线的交点的坐标,验证进而得到.
试题解析:(1)抛物线的方程为,则其焦点坐标为,
设点,,则有,
由于点在第二象限,则,将代入得,,解得,
故点的坐标为,故直线的方程为,变形得,
代入抛物线的方程并化简得,由韦达定理得,
;
(2)设直线的方程为,将代入抛物线的方程并化简得,
对任意恒成立,
由韦达定理得,,
将抛物线的方程化为函数解析式得,,则,
故曲线在点处的切线方程为,即,即①,
同理可知,曲线在点处的切线方程为②,
联立①②得,,故点的坐标为,,
而,
,.
考点:1.抛物线的定义;2.焦点弦长的计算;3.切线方程;4.平面向量的数量积
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已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得始终平分?若存在求出点坐标;若不存在请说明理由.
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已知A(-5,0),B(5,0),动点P满足||,||,8成等差数列.
(1)求P点的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足||·||=,则称点M为点P对应的“比例点”.问:对任意一个确定的点P,它总能对应几个“比例点”?
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已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是。
(1)求双曲线的方程;
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
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已知椭圆的左右焦点分别是,离心率,为椭圆上任一点,且的最大面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设斜率为的直线交椭圆于两点,且以为直径的圆恒过原点,若实数满足条件,求的最大值.
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如图,已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N
(1)求的值;
(2)记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为 证明:为定值
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