已知椭圆:
,过点
作圆
的切线
交椭圆
于A,B两点。
(1)求椭圆的焦点坐标和离心率;
(2)求的取值范围;
(3)将表示为
的函数,并求
的最大值.
(1)椭圆的焦点坐标为
,离心率为
;(2)
;(3)
.当
时,
,所以
的最大值为2.
解析试题分析:(1)由已知及,
,
关系可得
的值,从而得椭圆
的焦点坐标.由离心率计算公式可求得椭圆
的离心率;(2)过点
能作圆
的切线,则此点在圆上或圆外,由此可得
的取值范围;(3)先考虑过点
所作的圆
的切线
斜率不存在的情形,即先求
和
时的
长;再考虑
时的情形.设切线
的方程为
,代入椭圆方程消去
得关于
的一元二次方程:
,设
两点的坐标分别为
,利用韦达定理可得
及
的值,代入弦长公式
,可得弦长
的表达式,利用圆的切线性质消去
,得弦长
关于
的函数,最后利用均值不等式可求得
的最大值.
试题解析:(1)由已知可得.所以椭圆
的焦点坐标为
离心率为
; 4分
(2)由题意知,,即
; 6分
(3)当时,切线
的方程为
,点
的坐标为
,此时
.
当时,同理可得
8分
当时,设切线
的方程为
,由
;
设两点的坐标分别为
,则
; 10分
又由与圆
11分
.
.
,且当
时,
,所以
的最大值为2. 15分
考点:1.求椭圆离心率;2.圆的切线;.3.直线和椭圆的相交弦长的计算;4.均值不等式的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设点为直线
上的点,求直线
的方程;
(Ⅲ) 当点在直线
上移动时,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在周长为定值的DDEC中,已知,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,
有最小值
.
(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;
(2)直线l分别切椭圆G与圆(其中
)于A、B两点,求|AB|的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在轴上方有一段曲线弧
,其端点
、
在
轴上(但不属于
),对
上任一点
及点
,
,满足:
.直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(Ⅰ)求曲线弧的方程;
(Ⅱ)求的最小值(用
表示);
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线与双曲线
有公共焦点
,点
是曲线
在第一象限的交点,且
.
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切,圆
.过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
,设
被圆
截得的弦长为
,
被圆
截得的弦长为
,问:
是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,直线l与抛物线
相交于不同的两点A,B.
(I)如果直线l过抛物线的焦点,求的值;
(II)如果,证明直线l必过一定点,并求出该定点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是抛物线
上相异两点,
到y轴的距离的积为
且
.
(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.
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