已知抛物线与双曲线有公共焦点,点是曲线在第一象限的交点,且.
(1)求双曲线的方程;
(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切,圆.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为,被圆截得的弦长为,问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(1)双曲线的方程为;(2)是定值,且.
解析试题分析:(1)先利用抛物线的定义求出点的横坐标,然后将点的横坐标代入抛物线的方程并结合点所在的象限得到点的坐标,先计算出的长度,然后利用双曲线的定义计算出的值,由确定的值,从而得到双曲线的方程;(2)对直线的斜率存在与否分两种情况讨论,对直线的斜率不存在时进行验证,在直线的斜率存在时,先假设直线的方程,然后根据直线与的位置关系得到直线的方程,并求出圆心到两直线的距离,根据圆的半径长、直线截圆的弦长和圆心距三者之间的关系求出两直线截圆的弦长、,并进行验证是否为定值.
试题解析:(1)∵抛物线的焦点为,
∴双曲线的焦点为、, 1分
设在抛物线上,且,
由抛物线的定义得,,∴,∴,∴, 3分
∴, 4分
又∵点在双曲线上,由双曲线定义得:
,∴, ∴双曲线的方程为:. 6分
(2)为定值.下面给出说明.
设圆的方程为:, ∵圆与直线相切,
∴圆的半径为,故圆:. 7分
显然当直线的斜率不存在时不符合题意, 8分
设的方程为,即,
设的方程为,即,
∴点到直线的距离为,
点到直线的距离为, 10分
∴直线被圆截得的弦长, &n
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,斜率为的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B, M为抛物线弧AB上的动点.
(Ⅰ).若,求抛物线的方程;
(Ⅱ).求△ABM面积的最大值.
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已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.
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已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,、、是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点,直线交于点,设的斜率为,的斜率为,求证:为定值.
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已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标().
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