Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1对所有x∈[-1，1]，p∈[-1，1]（p是常数）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先判断单调性，设-1≤x₁＜x₂≤1，再利用函数的奇偶性和已知的条件得到

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，由x₂-x₁＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），由函数的单调性的定义得到f （x） 在[-1，1]上是增函数．
（2）不等式等价于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

，解此不等式组求出它的解集．
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，要f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2pm+1对
p∈[-1，1]恒成立，设g（p）=m²-2mp，有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，解不等式组求得m的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
设-1≤x₁＜x₂≤1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，由题设有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f （x） 在[-1，1]上是增函数．（4分）
（2）不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

?

- 3 2 ≤x≤ 1 2 x≥2 或 x≤0 x＜-1 或 1＜x＜ 3 2

，
解得-

3

2

≤x＜-1．（8分）
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，∴f（x）≤m²-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即 m²-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立
设g（p）=m²-2mp，则

g(-1)≥0 g(1)≥0

，

m2+2m≥0 m2-2m≥0

．
解得 m≤-2或m≥2或m=0，
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．（12分）

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，根据函数的恒成立问题求m的取值范围是解题的难点．