Question

【题目】已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.

（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；

（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围

（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求

（1）设，，则，，

两式相减得：，

由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，

设其斜率为，由式得，即.

由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得.

又，所以斜率的取值范围为.

（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，

所以，，设，则，

，，，

同理可得，因为点在椭圆上，所以，

解得.当时，，直线的方程为，

代入得，由根与系数关系得.

则.

由对称性知，当时也成立，.